Prirodni brojevi su osnova matematike, sa kojima se susrećemo već u ranom detinjstvu. To su brojevi koje koristimo za brojanje predmeta u svakodnevnom životu. Šta su prirodni brojevi zapravo? To su pozitivni celi brojevi koji počinju sa 1 i nastavljaju se u beskonačnost: 1, 2, 3, 4, 5 i tako dalje.

Neke definicije uključuju i broj 0, međutim, u tradicionalnom smislu prirodne brojeve počinjemo da brojimo od 1.

 

Istorija prirodnih brojeva

Prirodni brojevi spadaju među najstarije matematičke koncepte u istoriji čovečanstva. Već praistorijski ljudi su imali potrebu za metodom za brojanje životinja, hrane i drugih važnih resursa. Najstariji dokazi za korišćenje brojanja sežu više od 30.000 godina unazad, kada su ljudi urezivali zareze u kosti ili štapove kako bi beležili količine.

Stari Egipćani su razvili hijeroglifski sistem za beleženje brojeva, dok su Vavilonci koristili klinasto pismo. Grci su kasnije postavili temelje za teorijsko proučavanje prirodnih brojeva. Euklid je opisao u svojim „Elementima“ brojne osobine prirodnih brojeva, uključujući deljivost i proste brojeve.

 

U srednjem veku su arapski matematičari značajno doprineli znanju o prirodnim brojevima. Al-Horezmi, po kome je nazvan algoritam, je doprineo širenju decimalnog sistema koji i danas koristimo. Ovaj sistem je omogućio jednostavnije proračune i rad sa velikim brojevima.

U 19. veku je matematičar Đuzepe Peano formalizovao šta su prirodni brojevi sa pet aksioma, poznatim kao Peanovi aksiomi, koji matematički precizno definišu osobine prirodnih brojeva.

 

Osobine prirodnih brojeva

Prirodni brojevi imaju nekoliko važnih osobina koje ih razlikuju od drugih skupova brojeva:

Diskretnost: Između dva uzastopna prirodna broja ne postoji nijedan drugi prirodan broj. Između 5 i 6 ne postoji prirodan broj.

Uređenost: Prirodni brojevi su uređeni – za svaki prirodan broj možemo odrediti da li je veći, manji ili jednak drugom prirodnom broju.

Beskonačnost: Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Bez obzira koliko je veliki prirodan broj koji uzmemo, uvek možemo dodati 1 i dobiti još veći prirodan broj.

Zatvorenost u odnosu na sabiranje i množenje: Kada saberemo ili pomnožimo dva prirodna broja, uvek dobijamo prirodan broj. Na primer: 3 + 4 = 7 i 3 × 4 = 12, oba rezultata su prirodni brojevi.

Nezatvorenost u odnosu na oduzimanje i deljenje: Kada od manjeg prirodnog broja oduzmemo veći, ili kada podelimo prirodan broj drugim brojem koji nije delilac, rezultat nije prirodan broj.

Šta prirodni brojevi znače u matematičkoj teoriji? Oni čine osnovu za izgradnju drugih skupova brojeva, kao što su celi brojevi (koji uključuju i negativne brojeve), racionalni brojevi (razlomci) i realni brojevi (koji uključuju i iracionalne brojeve kao što je π).

 

Prirodni brojevi u svakodnevnom životu

Koristimo prirodne brojeve svaki dan, često toga nismo ni svesni. Kada brojimo predmete, merimo vreme u satima ili danima ili izračunavamo novac, koristimo prirodne brojeve.

U prodavnici brojimo proizvode u korpi za kupovinu. U autobusu brojimo stanice do izlaska. Prilikom kuvanja brojimo minute pečenja ili količinu sastojaka. Prirodni brojevi su toliko fundamentalan deo našeg razumevanja sveta da je teško zamisliti život bez njih.

U obrazovanju su prirodni brojevi prvi korak u učenju matematike. Deca prvo uče da broje predmete, pre nego što pređu na složenije matematičke koncepte. Znanje o prirodnim brojevima je stoga ključno za dalji razvoj matematičkih veština.

U informatici su prirodni brojevi takođe nezaobilazni. Koriste se za indeksiranje podataka, za brojanje iteracija u petljama i za brojne druge operacije. Iako računari zapravo rade sa binarnim brojevima (0 i 1), oni čine osnovu za predstavljanje prirodnih brojeva u digitalnom svetu.

 

Posebne kategorije prirodnih brojeva

Unutar skupa prirodnih brojeva postoje posebni podskupovi sa specifičnim osobinama:

Prosti brojevi

Prosti brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji su deljivi samo sa 1 i sa sobom. Prvi prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd. Prosti brojevi su „građevinski blokovi“ svih ostalih prirodnih brojeva, jer se svaki prirodan broj može napisati kao proizvod prostih brojeva.

Zanimljivo je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, što je Euklid dokazao još oko 300. godine pre nove ere.

Međutim, postaju ređi što se više krećemo ka većim brojevima.

 

Složeni brojevi

Složeni brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji nisu prosti brojevi. To znači da imaju bar jedan delilac osim 1 i sebe samih. Primeri složenih brojeva su 4, 6, 8, 9, 10 itd.

 

Savršeni brojevi

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svih svojih pravih delilaca (delilaca koji su manji od samog broja). Broj 6 je savršen broj, jer je 6 = 1 + 2 + 3. Sledeći savršen broj je 28, jer je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Postoji iznenađujuće malo savršenih brojeva. Do danas poznajemo samo 51 savršen broj, i svi su parni. Još uvek ne znamo da li postoji neparan savršen broj.

 

Prirodni brojevi u matematičkoj teoriji

U teorijskoj matematici, prirodni brojevi su osnova za izgradnju drugih brojevnih sistema. Proširenjem prirodnih brojeva dobijamo:

Celi brojevi (Z): Dobijamo ih kada prirodnim brojevima dodamo 0 i negativne brojeve.

Racionalni brojevi (Q): To su brojevi koje možemo zapisati kao razlomak p/q, gde su p i q celi brojevi, q ≠ 0.

Realni brojevi (R): Oni obuhvataju racionalne i iracionalne brojeve (brojeve koje ne možemo zapisati kao razlomak).

Kompleksni brojevi (C): Proširenje realnih brojeva sa imaginarnom jedinicom i.

Šta su prirodni brojevi u kontekstu teorije skupova? Možemo ih definisati pomoću praznog skupa ∅ i operacije sledbenika.

Broj 0 predstavljamo kao prazan skup ∅, broj 1 kao {∅}, broj 2 kao {∅, {∅}} i tako dalje. Ova konstrukcija, poznata kao fon Nojmanova konstrukcija, omogućava formalnu definiciju prirodnih brojeva u okviru teorije skupova.

 

Zanimljivosti o prirodnim brojevima

Prirodni brojevi kriju brojne zanimljive obrasce i osobine. Goldbah je postavio pretpostavku da se svaki paran broj, veći od 2, može napisati kao zbir dva prosta broja. Na primer, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5.

Iako pretpostavka važi za sve proverene brojeve do ekstremno velikih vrednosti, još uvek nije dokazana za sve prirodne brojeve.

Fibonačijev niz je još jedan fascinantan primer obrazaca u prirodnim brojevima. Počinje sa 0 i 1, a svaki sledeći broj je zbir prethodna dva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Ovaj niz se javlja u prirodi, od rasporeda listova na biljkama do obrazaca na školjkama.

Prirodni brojevi su takođe osnova za brojne matematičke igre i zagonetke. Nim, Sudoku i magični kvadrati su samo neki primeri, gde prirodni brojevi igraju ključnu ulogu.

Iako prirodni brojevi deluju jednostavno, još uvek postoje nerešeni problemi u vezi sa njima. Jedna od njih je Kolacova pretpostavka, koja kaže da ako uzmemo bilo koji prirodan broj, podelimo ga sa 2 ako je paran, ili ga pomnožimo sa 3 i dodamo 1 ako je neparan, i ponavljamo ovaj postupak, uvek ćemo doći do broja 1.

Prirodni brojevi su i osnova matematike i deo našeg svakodnevnog života. Njihova prividna jednostavnost krije duboku matematičku strukturu, koja i dalje inspiriše matematičare širom sveta.