Prirodni brojevi su osnova matematike, s kojima dolazimo u dodir već u ranom djetinjstvu. To su brojevi koje koristimo za brojanje predmeta u svakodnevnom životu. Šta su prirodni brojevi zapravo? To su pozitivni cijeli brojevi koji počinju s 1 i nastavljaju se u beskonačnost: 1, 2, 3, 4, 5 i tako dalje.

Neke definicije uključuju i broj 0, međutim, u tradicionalnom smislu prirodne brojeve počinjemo brojati od 1.

 

Historija prirodnih brojeva

Prirodni brojevi spadaju među najstarije matematičke koncepte u historiji čovječanstva. Već su prahistorijski ljudi trebali metodu za brojanje životinja, hrane i drugih važnih resursa. Najstariji dokazi o korištenju brojanja datiraju više od 30.000 godina unazad, kada su ljudi urezivali zareze u kosti ili štapove kako bi bilježili količine.

Stari Egipćani razvili su hijeroglifski sistem za bilježenje brojeva, dok su Babilonci koristili klinasto pismo. Grci su kasnije postavili temelje za teorijsku obradu prirodnih brojeva. Euklid je u svojim „Elementima“ opisao brojne osobine prirodnih brojeva, uključujući djeljivost i proste brojeve.

 

U srednjem vijeku arapski matematičari su značajno doprinijeli znanju o prirodnim brojevima. Al-Hvarizmi, po kojem je nazvan algoritam, doprinio je širenju decimalnog sistema koji i danas koristimo. Ovaj sistem je omogućio jednostavnije proračune i rukovanje velikim brojevima.

U 19. vijeku matematičar Giuseppe Peano formalizirao je šta su prirodni brojevi s pet aksioma, poznatim kao Peanovi aksiomi, koji matematički precizno definišu osobine prirodnih brojeva.

 

Osobine prirodnih brojeva

Prirodni brojevi imaju nekoliko važnih osobina koje ih razlikuju od drugih skupova brojeva:

Diskretnost: Između dva uzastopna prirodna broja ne postoji nijedan drugi prirodni broj. Između 5 i 6 ne postoji prirodan broj.

Uređenost: Prirodni brojevi su uređeni – za svaki prirodan broj možemo odrediti da li je veći, manji ili jednak drugom prirodnom broju.

Beskonačnost: Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Bez obzira koliko je velik prirodan broj koji uzmemo, uvijek možemo dodati 1 i dobiti još veći prirodan broj.

Zatvorenost u odnosu na sabiranje i množenje: Kada saberemo ili pomnožimo dva prirodna broja, uvijek dobijemo prirodan broj. Na primjer: 3 + 4 = 7 i 3 × 4 = 12, oba rezultata su prirodni brojevi.

Nezatvorenost u odnosu na oduzimanje i dijeljenje: Kada oduzmemo veći prirodan broj od manjeg ili kada podijelimo prirodan broj drugim brojem koji nije djelitelj, rezultat nije prirodan broj.

Šta prirodni brojevi znače u matematičkoj teoriji? Oni čine osnovu za izgradnju drugih skupova brojeva, kao što su cijeli brojevi (koji uključuju i negativne brojeve), racionalni brojevi (razlomci) i realni brojevi (koji uključuju i iracionalne brojeve poput π).

 

Prirodni brojevi u svakodnevnom životu

Prirodne brojeve koristimo svaki dan, često a da to i ne primijetimo. Kada brojimo predmete, mjerimo vrijeme u satima ili danima, ili izračunavamo novac, koristimo prirodne brojeve.

U prodavnici brojimo proizvode u korpi za kupovinu. U autobusu brojimo stanice do izlaska. Prilikom kuhanja brojimo minute pečenja ili količinu sastojaka. Prirodni brojevi su toliko fundamentalan dio našeg razumijevanja svijeta da je teško zamisliti život bez njih.

U obrazovanju, prirodni brojevi su prvi korak u učenju matematike. Djeca prvo uče brojati predmete, prije nego što pređu na složenije matematičke koncepte. Znanje o prirodnim brojevima je stoga ključno za daljnji razvoj matematičkih vještina.

U informatici, prirodni brojevi su također nezaobilazni. Koriste se za indeksiranje podataka, brojanje iteracija u petljama i za brojne druge operacije. Iako računari zapravo rade s binarnim brojevima (0 i 1), oni čine osnovu za predstavljanje prirodnih brojeva u digitalnom svijetu.

 

Posebne kategorije prirodnih brojeva

Unutar skupa prirodnih brojeva postoje posebni podskupovi sa specifičnim svojstvima:

Prosti brojevi

Prosti brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji su djeljivi samo sa 1 i sa samim sobom. Prvi prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd. Prosti brojevi su “građevinski blokovi” svih ostalih prirodnih brojeva, jer se svaki prirodni broj može napisati kao proizvod prostih brojeva.

Zanimljivo je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, što je Euklid dokazao već oko 300. godine p.n.e.

Međutim, postaju rjeđi, što se više krećemo ka većim brojevima.

 

Složeni brojevi

Složeni brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji nisu prosti brojevi. To znači da imaju barem jedan djelitelj osim 1 i samog sebe. Primjeri složenih brojeva su 4, 6, 8, 9, 10 itd.

 

Savršeni brojevi

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svih svojih pravih djelitelja (djelitelji koji su manji od samog broja). Broj 6 je savršen broj, jer je 6 = 1 + 2 + 3. Sljedeći savršen broj je 28, jer je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Postoji iznenađujuće malo savršenih brojeva. Do danas poznajemo samo 51 savršen broj, i svi su parni. Još uvijek ne znamo postoji li neparan savršen broj.

 

Prirodni brojevi u matematičkoj teoriji

U teorijskoj matematici, prirodni brojevi su osnova za izgradnju drugih brojevnih sistema. Proširenjem prirodnih brojeva dobijamo:

Cijeli brojevi (Z): Dobijamo ih kada prirodnim brojevima dodamo 0 i negativne brojeve.

Racionalni brojevi (Q): To su brojevi koje možemo napisati kao razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi, q ≠ 0.

Realni brojevi (R): Oni obuhvataju racionalne i iracionalne brojeve (brojeve koje ne možemo napisati kao razlomak).

Kompleksni brojevi (C): Proširenje realnih brojeva sa imaginarnom jedinicom i.

Šta su prirodni brojevi u kontekstu teorije skupova? Možemo ih definisati pomoću praznog skupa ∅ i operacije nasljednika.

Broj 0 predstavljamo kao prazan skup ∅, broj 1 kao {∅}, broj 2 kao {∅, {∅}} i tako dalje. Ova konstrukcija, poznata kao von Neumannova konstrukcija, omogućava formalnu definiciju prirodnih brojeva u okviru teorije skupova.

 

Zanimljivosti o prirodnim brojevima

Prirodni brojevi kriju brojne zanimljive obrasce i svojstva. Goldbach je postavio pretpostavku da se svaki paran broj, veći od 2, može napisati kao zbir dva prosta broja. Na primjer, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5.

Iako pretpostavka važi za sve provjerene brojeve do ekstremno velikih vrijednosti, još uvijek nije dokazana za sve prirodne brojeve.

Fibonaccijev niz je još jedan fascinantan primjer obrazaca u prirodnim brojevima. Počinje sa 0 i 1, i svaki sljedeći broj je zbir prethodna dva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Ovaj niz se pojavljuje u prirodi, od rasporeda listova na biljkama do uzoraka na školjkama.

Prirodni brojevi su također osnova za brojne matematičke igre i zagonetke. Nim, Sudoku i magični kvadrati su samo neki primjeri gdje prirodni brojevi igraju ključnu ulogu.

Iako prirodni brojevi izgledaju jednostavno, još uvijek postoje neriješeni problemi vezani za njih. Jedna od njih je Collatzova pretpostavka, koja kaže da ako uzmemo bilo koji prirodan broj, podijelimo ga sa 2 ako je paran, ili ga pomnožimo sa 3 i dodamo 1 ako je neparan, i ponavljamo ovaj proces, uvijek ćemo doći do broja 1.

Prirodni brojevi su i osnova matematike i dio našeg svakodnevnog života. Njihova prividna jednostavnost krije duboku matematičku strukturu koja i dalje inspiriše matematičare širom svijeta.