Prirodni brojevi su temelj matematike s kojima se susrećemo već u ranom djetinjstvu. To su brojevi koje koristimo za brojanje predmeta u svakodnevnom životu. Što su prirodni brojevi zapravo? To su pozitivni cijeli brojevi koji počinju s 1 i nastavljaju se u beskonačnost: 1, 2, 3, 4, 5 i tako dalje.

Neke definicije uključuju i broj 0, međutim, u tradicionalnom smislu prirodne brojeve počinjemo brojati od 1.

 

Povijest prirodnih brojeva

Prirodni brojevi spadaju među najstarije matematičke koncepte u povijesti čovječanstva. Već su prapovijesni ljudi trebali metodu za brojanje životinja, hrane i drugih važnih resursa. Najstariji dokazi o korištenju brojanja sežu više od 30.000 godina unatrag, kada su ljudi urezivali zareze u kosti ili štapove kako bi bilježili količine.

Stari Egipćani razvili su hijeroglifski sustav za bilježenje brojeva, dok su Babilonci koristili klinasto pismo. Grci su kasnije postavili temelje za teorijsku obradu prirodnih brojeva. Euklid je u svojim „Elementima“ opisao brojna svojstva prirodnih brojeva, uključujući djeljivost i proste brojeve.

 

U srednjem vijeku arapski su matematičari značajno pridonijeli znanju o prirodnim brojevima. Al-Hvarizmi, po kojem je nazvan algoritam, pridonio je širenju decimalnog sustava koji i danas koristimo. Ovaj sustav omogućio je jednostavnije izračune i rukovanje velikim brojevima.

U 19. stoljeću matematičar Giuseppe Peano formalizirao je što su prirodni brojevi s pet aksioma, poznatim kao Peanovi aksiomi, koji matematički precizno definiraju svojstva prirodnih brojeva.

 

Svojstva prirodnih brojeva

Prirodni brojevi imaju nekoliko važnih svojstava koja ih razlikuju od drugih skupova brojeva:

Diskretnost: Između dva uzastopna prirodna broja ne postoji nijedan drugi prirodni broj. Između 5 i 6 ne postoji prirodni broj.

Uređenost: Prirodni brojevi su uređeni – za svaki prirodni broj možemo odrediti je li veći, manji ili jednak drugom prirodnom broju.

Beskonačnost: Skup prirodnih brojeva je beskonačan. Bez obzira na to koliko je velik prirodni broj koji uzmemo, uvijek možemo dodati 1 i dobiti još veći prirodni broj.

Zatvorenost s obzirom na zbrajanje i množenje: Ako zbrojimo ili pomnožimo dva prirodna broja, uvijek dobivamo prirodni broj. Na primjer: 3 + 4 = 7 i 3 × 4 = 12, oba rezultata su prirodni brojevi.

Nezatvorenost s obzirom na oduzimanje i dijeljenje: Ako od manjeg prirodnog broja oduzmemo veći ili ako prirodni broj podijelimo s drugim koji nije djelitelj, rezultat nije prirodni broj.

Što prirodni brojevi znače u matematičkoj teoriji? Oni čine temelj za izgradnju drugih skupova brojeva, kao što su cijeli brojevi (koji uključuju i negativne brojeve), racionalni brojevi (razlomci) i realni brojevi (koji uključuju i iracionalne brojeve poput π).

 

Prirodni brojevi u svakodnevnom životu

Prirodne brojeve koristimo svakodnevno, često toga nismo ni svjesni. Kada brojimo predmete, mjerimo vrijeme u satima ili danima ili izračunavamo novac, koristimo prirodne brojeve.

U trgovini brojimo proizvode u košarici. U autobusu brojimo stanice do izlaska. Prilikom kuhanja brojimo minute pečenja ili količinu sastojaka. Prirodni brojevi su toliko temeljni dio našeg razumijevanja svijeta da je teško zamisliti život bez njih.

U obrazovanju su prirodni brojevi prvi korak u učenju matematike. Djeca prvo uče brojati predmete prije nego što prijeđu na složenije matematičke koncepte. Poznavanje prirodnih brojeva stoga je ključno za daljnji razvoj matematičkih vještina.

U informatici su prirodni brojevi također neizostavni. Koriste se za indeksiranje podataka, brojanje iteracija u petljama i za brojne druge operacije. Iako računala zapravo rade s binarnim brojevima (0 i 1), oni čine osnovu za prikaz prirodnih brojeva u digitalnom svijetu.

 

Posebne kategorije prirodnih brojeva

Unutar skupa prirodnih brojeva postoje posebni podskupovi sa specifičnim svojstvima:

Prosti brojevi

Prosti brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji su djeljivi samo s 1 i sa samim sobom. Prvi prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd. Prosti brojevi su “građevni blokovi” svih ostalih prirodnih brojeva, budući da se svaki prirodni broj može zapisati kao umnožak prostih brojeva.

Zanimljivo je, postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, što je već Euklid dokazao oko 300. pr. Kr.

Međutim, postaju rjeđi što se više krećemo prema većim brojevima.

 

Složeni brojevi

Složeni brojevi su prirodni brojevi, veći od 1, koji nisu prosti brojevi. To znači da imaju barem jedan djelitelj osim 1 i samog sebe. Primjeri složenih brojeva su 4, 6, 8, 9, 10 itd.

 

Savršeni brojevi

Savršeni broj je prirodni broj koji je jednak zbroju svih svojih pravih djelitelja (djelitelji koji su manji od samog broja). Broj 6 je savršeni broj, jer je 6 = 1 + 2 + 3. Sljedeći savršeni broj je 28, jer je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Postoji iznenađujuće malo savršenih brojeva. Do danas poznajemo samo 51 savršeni broj, i svi su parni. Još uvijek ne znamo postoji li neparni savršeni broj.

 

Prirodni brojevi u matematičkoj teoriji

U teorijskoj matematici, prirodni brojevi su osnova za izgradnju drugih brojevnih sustava. Proširenjem prirodnih brojeva dobivamo:

Cijeli brojevi (Z): Dobivamo ih kada prirodnim brojevima dodamo 0 i negativne brojeve.

Racionalni brojevi (Q): To su brojevi koje možemo zapisati kao razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi, q ≠ 0.

Realni brojevi (R): Oni obuhvaćaju racionalne i iracionalne brojeve (brojeve koje ne možemo zapisati kao razlomak).

Kompleksni brojevi (C): Proširenje realnih brojeva s imaginarnom jedinicom i.

Što su prirodni brojevi u kontekstu teorije skupova? Možemo ih definirati pomoću praznog skupa ∅ i operacije sljedbenika.

Broj 0 predstavljamo kao prazan skup ∅, broj 1 kao {∅}, broj 2 kao {∅, {∅}} i tako dalje. Ova konstrukcija, poznata kao von Neumannova konstrukcija, omogućuje formalnu definiciju prirodnih brojeva u okviru teorije skupova.

 

Zanimljivosti o prirodnim brojevima

Prirodni brojevi skrivaju brojne zanimljive obrasce i svojstva. Goldbach je postavio pretpostavku da se svaki parni broj, veći od 2, može napisati kao zbroj dvaju prostih brojeva. Na primjer, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5.

Iako pretpostavka vrijedi za sve provjerene brojeve do iznimno velikih vrijednosti, još uvijek nije dokazana za sve prirodne brojeve.

Fibonaccijev niz je još jedan fascinantan primjer obrazaca u prirodnim brojevima. Počinje s 0 i 1, a svaki sljedeći broj je zbroj prethodna dva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Ovaj se niz pojavljuje u prirodi, od rasporeda listova na biljkama do uzoraka na školjkama.

Prirodni brojevi su također osnova za brojne matematičke igre i zagonetke. Nim, Sudoku i magični kvadrati su samo neki primjeri gdje prirodni brojevi igraju ključnu ulogu.

Iako se prirodni brojevi čine jednostavnima, još uvijek postoje neriješeni problemi u vezi s njima. Jedna od njih je Collatzova pretpostavka, koja kaže da ako uzmemo bilo koji prirodni broj, podijelimo ga s 2 ako je paran, ili ga pomnožimo s 3 i dodamo 1 ako je neparan, i ponavljamo taj postupak, uvijek ćemo doći do broja 1.

Prirodni brojevi su i temelj matematike i dio našeg svakodnevnog života. Njihova prividna jednostavnost skriva duboku matematičku strukturu koja i dalje inspirira matematičare diljem svijeta.